嚴格態射

在範疇論中，嚴格態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為嚴格態射的範疇稱為嚴格範疇。

[编辑] 定義

設 $\mathcal{C}$ 為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設 $f: X \to Y$ 為態射。設 $p_1, p_2: \; X \times_Y X \to X$ 為積的投影，而 $i_1,i_2: \; Y \to Y \sqcup_X Y$ 為上積的內射。定義：

上像： $Coim(f): = Coker(p 1, p 2)$
像： $Im(f): = Ker(i 1, i 2)$

根據極限性質，自然態射 $X \to \mathrm{Coim}(f)$ 是滿射，而 $\mathrm{Im}(f) \to Y$ 則是單射。此外還存在唯一一個態射 $u: \;\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f)$ ，使得合成態射

$X \longrightarrow\mathrm{Coim}(f) \stackrel{u}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(f) \longrightarrow Y$

正好是 $f$ 。

若 $u$ 為同構，則稱 $f$ 為嚴格態射；嚴格態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為嚴格態射的範疇稱為嚴格範疇。

[编辑] 性質

以下三個條件等價：
- $f$ 為嚴格滿射
- $\mathrm{Coim}(f) \to Y$ 為同構
- 序列 $X \times_Y X \Rightarrow X \rightarrow Y$ 正合
如果 $f$ 同時是嚴格滿射與嚴格單射，則 $f$ 為同構。
$X \to \mathrm{Coim}(f)$ 恆為嚴格滿射。

[编辑] 例子

嚴格態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取 $\mathcal{C}$ 為拓撲向量空間範疇， $\mathcal{C}$ 中存在所有有限的積與上積。 $\mathcal{C}$ 中的態射 $f: X \to Y$ 即連續線性映射，其像 $Im(f)$ 是空間 $f (X)$ 配與 $Y$ 的子空間拓撲，上像 $Coim(f)$ 則是 $f (X)$ 配與 $f: X \to f(X)$ 的商拓撲；後者一般較前者為細。