概念文字

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概念文字是1879年出版的戈特洛布·弗雷格写的关于逻辑学的一本书。书名 Begriffsschrift 通常翻译成 Concept Writing 或 Concept Notation；书的完整标题把它标识为"模仿算术的纯思维的形式语言"。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对演算推论器的渴望。

弗雷格定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。概念文字是书和其中定义的演算二者的名字。

[编辑] 记号和系统

演算介入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑，尽管使用了一种特异的二维记号(notation): 连结词和量词使用连接公式的线条来书写，而不是今天使用的符号(symbol) ¬、∧、∀。例如，在判断(judgement) B 和 A 之间的蕴涵，也就是 $B \rightarrow A$ 用来指定。

在他的著作的第一章中，弗雷格确定了基本概念和标号(sign),象命题("断定/判断")，和全称量词("普遍性")，蕴含("条件性")，否定和等号 $\equiv$ ；在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理(它们是在语义上证明了的形式化陈述)。

他给出了条件的定义(第 1 章. §5.):

"设 A 和 B 指称可断定的内容，则有四种潜在的可能性:

(1)	A 被肯定了(assert), B 被肯定了;
(2)	A 被肯定了, B 被否定了;
(3)	A 被否定了, B 被肯定了;
(4)	A 被否定了, B 被否定了.

设标示(sign)第三种可能性是不能得到的，而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定就意味着第三种可能性是有效的，就是说我们否定了 A 并肯定了 B。"

[编辑] 弗雷格著作中的演算

弗雷格声明了九个重言式(tautology)断定作为公理。他以语义方式证明了它们，并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。

$\vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right)$
$\vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right]$
$\vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right]$
$\vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right)$
$\vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A$
$\vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A$
$\vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) = f(d) \right)$
$\vdash \ \ c = c$
$\vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c)$

弗雷格在第二章中历数了被形式化的命题；成为了他的公理的是第 1^st, 2^nd, 8^th, 28^th, 31^st, 41^st, 52^nd, 54^th, 58^th 个命题。

他在这章中还声明了两个推理规则: 它们是肯定前件(modus ponens); 和代换律。在第一章中他宣布了一个约定，"普遍化律"。这意味着如果"自由"变量能在一个断定中找到，则把它当作全称量化的，依据弗雷格的定律，在 $\vdash$ 标号("断定符号")之后的，被固定的(fixed)变量是断定，而不是"开放的"公式，也就是谓词。

弗雷格在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章("Parts from a general series theory")是对他在建造算术上做的工作的介绍。

[编辑] 对其他著作的影响

它的记号的某些痕迹幸存了: 被逻辑学家非正式的叫做"十字转门"(turnstile)的符号 $\vdash$ 演化自弗雷格的 "Inhaltsstrich" ── 和 "Urteilsstrich" │。弗雷格在 Begriffsschrift 中以合一的形式 ├─ 使用这些符号来声明一个命题是(重言式)真的，而不是简单的宣布它. 他使用 "Definitionsdoppelstrich" │├─ 作为表示一个命题是一个定义的符号。

在逻辑哲学论中，维特根斯坦通过使用术语 Begriffsschrift 作为逻辑形式主义的同义词来表达对弗雷格的敬意。

在弗雷格后来的著作 "Sense and Reference" 中，它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论(用数学上的 = 号来标记)。

[编辑] 一段引文

"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治 [...], 那么我的概念记号，就是为这个目的而开发的，它能够成为哲学家的有用的工具 [...] 我认为，只是通过发明这些概念记号，逻辑的本质(matter)就已经被促进了(forward)。"

Begriffsschrift [前言]

[编辑] 引用

Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.