欧氏环

定义:一个整环I叫做一个欧氏环,假如

(i)有一个从I的非零元所成的集合到 $\ge 0$ 的整数集合的映射 $\varphi$ 存在; (ii)给定了I的一个不等于零的元a,I的任何元都可以写成 $b=qa+r\ \left( q,r\in I \right)$ 的形式,这里或是r=0或是 $\varphi \left( r \right)<\varphi (a)$ .

例整数环是一个欧氏环(定义 $\varphi :a\to \left| a \right|=\varphi (a)\ a\in I$ )
例高斯整环Z[i]是欧氏环.定义 $\phi \left( a+bi \right)=a^{2}+b^{2}$

定理任何欧氏环I一定是一个主理想环,因而一定是一个唯一分解环.

反之不一定，见不是欧氏环的主理想环.

定理一个域F上的一元多项环F[x]是一个欧氏环.

证明概要:定义映射 的次数.

参考

[1]张禾瑞。近世代数[M]。北京：高等教育出版社。ISBN 7-04-001222-7

同态 | 同构 | 商结构(商系统)

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3个分类: 交換代數 | 抽象代数 | 環論

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