狄利克雷定理

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在數論，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數 $a, d$ ，有無限多個質數的形式如 $a + n d$ ，其中 $n$ 為正整數，即在算術級數 $a + d, a + 2 d, a + 3 d,...$ 中有無限多個質數——有無限個質數模 $d$ 同餘 $a$ 。

[编辑] 相關定理

歐幾里德證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如 $2 n + 1$ 。
算術級數的質數定理：若 $a, d$ 互質，則有

$\sum_{p \le x \quad p \equiv a \pmod{d} } 1 \sim \frac{1}{\phi(d)} \frac{x}{\ln(x)}$ 。

其中φ是歐拉φ函數。取 $d = 2$ ，可得一般的質數定理。

Linnik定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數 $a + n d$ 中最小的質數少於 $c d L$ ，其中 $L$ 和 $c$ 均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

[编辑] 歷史

歐拉曾以 $\sum \frac{1}{p} = \infty$ ，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明 $\sum_{p \equiv a \pmod{d} } {1/p} = \infty$ 來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。